LA PUERTA DE LOS DESESPERADOS
(O EL PROBLEMA DE MONTY HALL)
Kentaro Mori
Cierta mañana usted se despierta y ve que ha regresado a los años ochenta y se encuentra dentro del cuerpo de un niño de 8 años, participando en el programa infantil de Sergio Mallandro. Tal vez usted hubiera preferido despertar como una cucaracha gigante, pero nunca podemos prever cómo van a ocurrir las transmigraciones de las almas en el plano astral.
Afortunadamente su mente sigue siendo la misma «“una más de esas cosas inexplicables de la trasmigración del alma. Cuando se da cuenta, está participando en uno de los concursos del programa «A Porta dos Desesperados» (La Puerta de los desesperados). Es muy simple: existen tres puertas iguales. Detrás de una de ellas hay un premio, y en las otras dos hay personas vestidas con disfraces de monstruos que te meterán en un saco por escoger la puerta equivocada.
Usted escoge una puerta y se supone que ganará lo que se encuentra detrás de ella. Entonces sale Sergio Mallandro diciendo que desea ayudarlo y, sabiendo de antemano en cuál puerta se encuentra el premio, abre una de las otras dos revelando un monstruo, o mejor, un hombre mal vestido de monstruo. Y le hace una última pregunta: ¿Desea cambiar? Al final, ¿es o no ventajoso cambiar de puerta?
Este pequeño problema es mucho más difícil de lo que parece, y llegó a su famoso en los Estados Unidos como el problema de Monty Hall, debido a que el presentador poseía un cuadro muy parecido (o lo contrario sería más apropiado) en su popular programa «Let»™s Make a Deal» (Hagamos un trato) en los años setenta, algo como los diversos programas de Silvio Santos. Se han quemado muchas neuronas porque la respuesta al problema es contra intuitiva, lo que quiere decir que la primera respuesta que de debe ser incorrecta. No tenga miedo, intente descubrir si es o no ventajoso cambiar de puerta antes de continuar con la lectura.
¿Lo intentó? Entonces, vayamos primero a la respuesta correcta y contra intuitiva: Sí es más ventajoso cambiar, de hecho es dos veces más probable ganar el premio si cambia de puerta que si no lo hace. ¡Créalo»¦ si quiere! O lea la explicación, que solamente es una de las muchas que circulan para el problema de Monty Hall:
Existen tres puertas que vamos a llamar A, B y C. Cuando usted eligió una de ellas, digamos la A, la probabilidad de que ésta sea la premiada es de 1/3. En consecuencia, la probabilidad de que usted esté equivocado, o en otras palabras, de que el premio esté en las otras puertas B o C es de 2/3. Puede comprobar esto sumando las probabilidades de cada una de las puertas o sabiendo simplemente que la probabilidad de que haya un premio es siempre 1. Es importante tener en mente que la probabilidad de que el premio esté en las otras puertas que no escogió es de 2/3.
Entendiendo esto, basta ver que el presentador abrirá sin error una de las otras dos puertas que contiene un monstruo, supongamos la B. Al hacer esto él le está dando una información valiosa: si el premio estaba en una de las puertas que usted no eligió (B o C), entonces ahora solamente puede estar en la puerta que usted no eligió y aún no ha sido abierta, o sea, la puerta C. Es decir, si se equivocó al escoger una puerta «“y las probabilidades de esto son 2/3- entonces al abrir una de las otras puertas no premiadas el presentador literalmente le está diciendo dónde está el premio. Toda vez que usted hubiera escogido inicialmente una puerta equivocada, al cambiar de puerta usted irá con la certeza de ganar. Como las probabilidades de que usted se halla equivocado en su selección inicial son de 2/3, si usted cambia sus probabilidades de ganar son de 2/3 «“y por consiguiente la probabilidad de que usted gane si no cambia de puerta es de apenas 1/3. ¡Y así es más ventajoso cambiar de puerta, créalo»¦ si lo entiende!
La respuesta intuitiva al problema es que cuando el presentador reveló una puerta no premiada, nosotros teníamos enfrente un nuevo dilema, con sólo dos puertas y un premio, por lo tanto la probabilidad de que el premio esté en una de las dos puertas es del 50%. El presentador nos habría ayudado ya que nuestras probabilidades se habrían elevado de 1/3 a 1/2, aunque realmente no habría diferencia en cambiar o no de puerta ya que ambas tendrían la misma probabilidad de poseer el premio. Si embargo esta respuesta es equivocada, pues la puerta que el presentador abre depende de la que nosotros escogemos inicialmente. El presentador sabe desde el inicio en dónde está el premio (el nunca abrirá una puerta premiada). Al abrir una puerta, el no está creando un juego todo nuevo, sino que está dando información valiosa sobre el juego original. Es por eso que la respuesta es tan contra intuitiva: nos parece que el presentador abrió una puerta aleatoriamente, pero eso está muy alejado de la verdad. Como vimos, si inicialmente elegimos una puerta no premiada, él no tiene ninguna libertad de escoger y sólo puede abrir una puerta.
El problema de Monty Hall, también llamado por algunos como la Paradoja de Monty Hall, se enseña en muchos cursos de probabilidad, y en Harvard y Princenton se hacen ejercicios sobre este tema. Demuestra muy bien cómo nuestro cerebro no fue hecho para lidiar intuitivamente con tales tipos específicos de problemas. Felizmente, así como nosotros podemos factorizar un número en el papel con facilidad aunque sea un tanto difícil de hacer lo mismo mentalmente, se puede resolver el problema de Monty Hall en el papel de una forma simple y sin error usando el Teorema de Bayes de probabilidad condicional.
Ah sí, en cuanto a nuestro insólito caso de trasmigración del alma en el plano astral. Sinceramente, si después de quebrarse la cabeza con el problema de Monty Hall usted todavía prefiere oír hablar de trasmigración del alma entonces tal vez sea hora de una metamorfosis.